Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 48
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:
E ele pede para usarmos a regra de L’hospital se for apropriado.
Podemos usar L’hospital quando temos uma indeterminação do tipo ou do tipo .
Se isso acontecer, basta derivarmos o numerador e o denominador separadamente e verificar se a indeterminação permanece ou se já conseguimos resolver o limite.
Passo 2
Temos o seguinte limite:
Substituindo o limite temos:
Essa é uma forma indetermina, mas não é uma indeterminação de L’hospital.Para transforma-la em uma indeterminação onde possamos utilizar L’hospital, vamos transformar essa multiplicação em uma fração.
Para isso, vou colocar a potência de no denominador, da seguinte forma.
Escrevendo:
Chegamos em
Logo, temos que
Analisando o limite acima, vemos que quando ,
Portanto, temos a seguinte indeterminação:
Obtemos a forma , logo a Regra de l’Hôspital é aplicável.
Passo 3
Agora vamos encontrar este limite.
Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, vamos utilizá-la para resolver este limite que vai ser sucesso!
Neste método temos que
Vamos chamar
e
Reescrevendo e para facilitar a derivação da potência de , temos:
e
As derivadas dessas funções são (em é preciso fazer uma regra da cadeia):
Substituindo esses valores, obtemos
Logo, a resposta é