Para a câmera e o foguete da Figura 3.4.5, a que taxa estará variando a distância entre câmera e foguete quando ele estiver a 4000 p é s de altura e subindo verticalmente a 880 p é s / s ?

Passo 1

Colocando os dados do enunciado na Figura 3.4.5, ficamos com:

Chamando a distância entre o foguete e a câmera de D , e a altura do foguete num instante genérico de h , podemos aplicar o teorema de Pitágoras e dizer que:

5 2 + h 2 = D 2

Passo 2

Se a gente derivar essa expressão em relação ao tempo, ficamos com:

d d t ( 5 2 + h 2 ) = d d t ( D 2 )

d 25 d t + d h 2 d t = d D 2 d t  

Como derivada de constante é zero, usando a regra da cadeia:

d h 2 d h d h d t   = d D 2 d D d D d t

2 h d h d t   = 2 D d D d t

Passo 3

O enunciado pergunta a que taxa estará variando a distância entre câmera e foguete, ou seja, d D / d t . E nos diz que nesse instante a altura é de 4 000   p é s   e está subindo verticalmente a uma taxa de 880   p é s / s . Então disso a gente tira que:

h = 4 000   p é s

d h d t = 880   p é s / s  

Além disso, por Pitágoras, conseguimos descobrir o valor de D naquele instante:

3000 2 + 4 000 2 = D 2

D 2 = 25.000.000                   ⇒                 D = 5000   p é s

Passo 4

Substituindo todos esses dados na expressão que a gente encontrou:

2 h d h d t   = 2 D d D d t

2 4 000 880 = 2 5000 d D d t  

d D d t = 704   p é s / s

Como o enunciado pergunta a que taxa estará variando a distância entre câmera e foguete, isso é basicamente o d D d t . Então encontramos nossa resposta 😊

Resposta

704   p é s / s

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