Encontre o limite.

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ 2 x x 2

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

lim x → ∞ ⁡ e x p ⁡ ( l n cos ⁡ 2 x x 2 )

Com isso podemos descer ali aquele expoente x 2 .

Ficamos então com:

lim x → ∞ ⁡ e x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x

O exponencial pode sair do limite ficando:

e lim x → ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 x

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponencial, podemos reorganizar isso como:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ cos ⁡ 2 x 1 x 2  

Caimos então mna indeterminação 0/0, onde podemos aplica L’Hopital.

lim x → ∞ ⁡ 2 s e n 2 x x 2 cos ⁡ 2 x - 2 x 3  

lim x → ∞ ⁡ - x s e n 2 x cos ⁡ 2 x  

Passo 3

Separando em dois limites ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ - x   s e n 2 x lim x → ∞ ⁡ c o s 2 x

No limite do denominador encontramos 1 como resultado. Resolvendo então o limite de cima temos que manipular um pouco para podermos cair numa indeterminação resolvível com L’hopital.

lim x → ∞ ⁡ - x   s e n 2 x

- lim x → ∞ ⁡ s e n 2 x 1 x

Agora temos uma indeterminação para usar a regra de L’Hopital.

- lim x → ∞ ⁡ - 2 cos ⁡ 2 x x 2 - 1 x 2

- lim x → ∞ ⁡ 2 cos ⁡ 2 x = - 2

Passo 4

Por fim trazemos o exponencial de volta, ficando com:

e - 2

= 1 e 2

Resposta

1 e 2

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