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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 32

Encontre o limite.

underset(x -> oo)(lim) (cos (2)/(x))^(x^2)

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

underset(x -> oo)(lim) e x p ( l n (cos (2)/(x))^(x^2) )

Com isso podemos descer ali aquele expoente x^2 .

Ficamos então com:

underset(x -> oo)(lim) e^(x^2 ln (cos (2)/(x)))

O exponencial pode sair do limite ficando:

e^(underset(x -> oo)(lim) x^2 ln (cos (2)/(x)))

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponencial, podemos reorganizar isso como:

underset(x -> oo)(lim) (ln (cos (2)/(x)))/((1)/(x^2))

Caimos então mna indeterminação 0/0, onde podemos aplica L’Hopital.

underset(x -> oo)(lim) (2 (s e n ((2)/(x)))/(x^2 cos ((2)/(x))))/(- (2)/(x^3))

underset(x -> oo)(lim) (- x s e n ((2)/(x)))/(cos ((2)/(x)))

Passo 3

Separando em dois limites ficamos com:

(underset(x -> oo)(lim) - x s e n ((2)/(x)))/(underset(x -> oo)(lim) c o s ((2)/(x)))

No limite do denominador encontramos 1 como resultado. Resolvendo então o limite de cima temos que manipular um pouco para podermos cair numa indeterminação resolvível com L’hopital.

underset(x -> oo)(lim) - x s e n ((2)/(x))

- underset(x -> oo)(lim) (s e n ((2)/(x)))/((1)/(x))

Agora temos uma indeterminação para usar a regra de L’Hopital.

- underset(x -> oo)(lim) (- (2 cos ((2)/(x)))/(x^2))/((- 1)/(x^2))

- underset(x -> oo)(lim) 2 cos (2)/(x) = - 2

Passo 4

Por fim trazemos o exponencial de volta, ficando com:

e^(- 2)

= (1)/(e^2)

Resposta

(1)/(e^2)

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Encontre o limite. lim x → π 2 - ⁡ t g x π 2 - x
Encontre o erro nos seguintes cálculos:E em seguida encontre a resposta crreta:
Mostre que com qualquer n inteiro positivounderset(x - oo)(lim) (ln x)/(x^n) = 0
Mostre que com qualquer n inteiro positivounderset(x - oo)(lim) (x^n)/(ln x) = oo
(a)Mostre que l i m x → π 2 π 2 - x ∙ tg ⁡ x = 1