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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 46b

Mostre que com qualquer n inteiro positivo

underset(x -> oo)(lim) (x^n)/(ln x) = oo

Passo 1

Observe que inicialmente, quando x tende a infinito, temos um limite do tipo (oo)/(oo) . Se aplicarmos l’hopital n vezes, chegaremos a um ponto onde o polinômio no numerador viraria uma constante, enquanto a derivada do ln só subiria o valor de seu expoente. Veja o exemplo, suponde que o n valha 3.

underset(x -> oo)(lim) (x^3)/(ln x)

Vamos então aplicar L' hopital :

underset(x -> oo)(lim) (3 x^2)/((1)/(x))

Aplicando mais uma vez:

underset(x -> oo)(lim) (6 x)/(- (1)/(x^2))

Por último:

underset(x -> oo)(lim) (6)/((2)/(x^3))

Observa como chega em um momento onde o numerador se torna uma contante, enquanto o expoente no denominador só cresce... isso faz com que tenhamos uma fração embaixo, que tende para zero, dividindo uma contante n numerador. Logo, como resultado, teremos sempre oo , afinal de contas contante divido por zero nos da oo , independente do valor inicial de n nesse limite.

Passo 2

Outra forma de perceber isso seria pela velocidade de crescimento das funções. O menor valor possível para n seria 1. Ao observarmos as funções f (x) = x e f (x) = ln x podemos observar que a função f (x) = x cresce muito mais rápido do que o ln x , logo se aproxima primeiro de infinito, logo teríamos uma contante dividindo por infinito que ainda nos dá infinito como resultado.

underset(x -> oo)(lim) (x^n)/(ln x) = oo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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