Encontre o limite.

lim x → ∞ ⁡ 1 - 3 x x

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

lim x → ∞ ⁡ e x p ⁡ ( l n 1 - 3 x x )

Com isso podemos descer ali aquele expoente x.

Ficamos então com:

lim x → ∞ ⁡ e x ln ⁡ 1 - 3 x

O exponencial pode sair do limite ficando:

e lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 3 x

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponenciaol, observe que temos de fazer algumas manipulações para podermos caí numa indeterminação específica para podermos aplicar L’Hopital.

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 - 3 x 1 x

Agora caímos na indeterminação 0 0 onde podemos aplicar L’Hopital.

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 1 - 3 x - 1 x 2

lim x → ∞ ⁡ - 3 x x - 3

Passo 3

Podemos reescrever esse limite como:

- 3 lim x → ∞ ⁡ x x - 3

- 3 lim x → ∞ ⁡ 1 1 - 3 x = - 3

Trazendo o exponencial la do começo da questão tínhamos:

e lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 3 x

e - 3

1 e 3

Resposta

1 e 3

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