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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 27

Encontre o limite.

underset(x -> oo)(lim) (1 - (3)/(x))^x

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

underset(x -> oo)(lim) e x p ( l n (1 - (3)/(x))^x )

Com isso podemos descer ali aquele expoente x.

Ficamos então com:

underset(x -> oo)(lim) e^(x ln (1 - (3)/(x)))

O exponencial pode sair do limite ficando:

e^(underset(x -> oo)(lim) x ln (1 - (3)/(x)))

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponenciaol, observe que temos de fazer algumas manipulações para podermos caí numa indeterminação específica para podermos aplicar L’Hopital.

underset(x -> oo)(lim) (ln (1 - (3)/(x)))/((1)/(x))

Agora caímos na indeterminação (0)/(0) onde podemos aplicar L’Hopital.

underset(x -> oo)(lim) ((3)/(x^2 (1 - (3)/(x))))/((- 1)/(x^2))

underset(x -> oo)(lim) (- 3 x)/(x - 3)

Passo 3

Podemos reescrever esse limite como:

- 3 underset(x -> oo)(lim) (x)/(x - 3)

- 3 underset(x -> oo)(lim) (1)/(1 - (3)/(x)) = - 3

Trazendo o exponencial la do começo da questão tínhamos:

e^(underset(x -> oo)(lim) x ln (1 - (3)/(x)))

e^(- 3)

(1)/(e^3)

Resposta

(1)/(e^3)

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