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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 42

Encontre o limite.

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta)

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta)

Mas perceba uma coisinha:

underset(theta -> 0)(lim) cos theta - 1 = 0

E

underset(theta -> 0)(lim) sen theta = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Dessa forma, temos que fazer algumas manipulações algébricas para desviarmos dessa indeterminação.

Bora lá?? 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação.

Podemos multiplicar a expressão dentro do limite por (theta)/(theta) :

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta) = underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta) * (theta)/(theta)

Reorganizando, temos:

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta) = underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(theta) * (theta)/(sen theta) :.

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta) = underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(theta) * (1)/(((sen theta)/(theta)))

Passo 3

Pelo limite fundamental, temos que:

underset(x -> 0)(l i m) (cos x - 1)/(x) = 0

então

underset(theta -> 0)(l i m) (cos theta - 1)/(theta) = 0

Por outro lado, também temos que:

underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1

então

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta) = 1

Passo 4

Logo, substituindo as expressões, temos:

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta) = underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(theta) * (1)/(((sen theta)/(theta))) :.

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta) = underset(theta -> 0)(l i m) (cos theta - 1)/(theta) * (1)/(underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta)) :.

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta) = 0 * (1)/(1) :.

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta) = 0

Resposta

underset(theta -> 0)(lim) (cos theta - 1)/(sen theta) = 0

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