Encontre o limite.

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ

Mas perceba uma coisinha:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 = 0

E

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo 0 0 .

Dessa forma, temos que fazer algumas manipulações algébricas para desviarmos dessa indeterminação.

Bora lá?? 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação.

Podemos multiplicar a expressão dentro do limite por θ θ :

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ * θ θ

Reorganizando, temos:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 θ * θ sen ⁡ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 θ * 1 sen ⁡ θ θ

Passo 3

Pelo limite fundamental, temos que:

l i m x → 0 cos ⁡ x - 1 x = 0

então

l i m θ → 0 cos ⁡ θ - 1 θ = 0

Por outro lado, também temos que:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

então

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ = 1

Passo 4

Logo, substituindo as expressões, temos:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 θ * 1 sen ⁡ θ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ = l i m θ → 0 cos ⁡ θ - 1 θ * 1 lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ ∴

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ = 0 * 1 1 ∴

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ = 0

Resposta

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 sen ⁡ θ = 0

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