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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.3 - Ex. 44

Encontre o limite.

underset(t -> 0)(lim) (sen^2 3 t)/(t^2)

Passo 1

Como

underset(theta -> 0)(lim) sen^2 3 t = 0

E

underset(theta -> 0)(lim) t^2 = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

underset(t -> 0)(lim) (sen^2 3 t)/(t^2) = underset(t -> 0)(lim) (3^2 sen^2 3 t)/(3^2 t^2) = underset(t -> 0)(lim) ((3 sen 3 t)/(3 t))^2 = (underset(t -> 0)(lim) (3 sen 3 t)/(3 t))^2

Passo 3

Para o limite underset(t -> 0)(lim) (3 sen 3 t)/(3 t) temos:

-Se aplicarmos a troca de variáveis w = 3 t ou, de modo que quando t -> 0 então w -> 0 e t != 0 implica em w != 0 , logo:

underset(t -> 0)(lim) (3 sen 3 t)/(3 t) = underset(w -> 0)(lim) (3 sen w)/(w)

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

underset(t -> 0)(lim) 3 (sen w)/(w) = underset(w -> 0)(lim) 3 xx underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 3 underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w)

Com base no limite fundamental: underset(t -> 0)(lim) (sen t)/(t) = 1 então underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 1 . Assim:

underset(t -> 0)(lim) (3 sen 6 t)/(3 t) = 3

Passo 4

Logo:

underset(t -> 0)(lim) (sen^2 3 t)/(t^2) = (underset(t -> 0)(lim) (3 sen 3 t)/(3 t))^2 = (3)^2

underset(t -> 0)(lim) (sen^2 3 t)/(t^2) = 9

Resposta

underset(t -> 0)(lim) (sen^2 3 t)/(t^2) = 9

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