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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1c

Calcule.

underset(x -> 0)(lim) (s e n 3 x)/(x)

Passo 1

Para calcular esse limite podemos fazer uma troca de variáveis:

Podemos chamar h = 3 x , de modo que se x != 0 então h != 0 e, também, quando x tende a zero, h também tende a zero.

Assim:

underset(x -> 0)(lim) (s e n 3 x)/(x) = underset(h -> 0)(lim) (s e n h)/((h)/(3)) = underset(h -> 0)(lim) 3 (s e n h)/(h)

Passo 2

Quando temos uma constante multiplicando a função no limite, podemos passar ela para fora:

underset(x -> 0)(lim) (s e n 3 x)/(x) = underset(h -> 0)(lim) 3 (s e n h)/(h) = 3 underset(h -> 0)(lim) (s e n h)/(h)

Passo 3

Pelo limite fundamental, sabemos que underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x) = 1 então underset(h -> 0)(lim) (s e n h)/(h) = 1

Logo:

underset(x -> 0)(lim) (s e n 3 x)/(x) = 3 underset(h -> 0)(lim) (s e n h)/(h) = 3 xx 1 = 3

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (s e n 3 x)/(x) = 3

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