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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1f

Calcule.

underset(x -> 0)(lim) (3 x^2)/(tg x sen ��� x)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f (x) = (3 x^2)/(tg x sen x) quando x se aproxima de 0 .

Pra isso, vamos tentar reescrever a nossa função usando identidades trigonométricas, para fugir da indeterminação e aplicar o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Como a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, podemos reescrever o limite como:

underset(x -> 0)(lim) (3 x^2)/(tg x sen x) = underset(x -> 0)(lim) (3 x^2)/((sen x)/(cos x) sen x)

Simplificando:

= underset(x -> 0)(lim) (3 x^2)/((sen^2 x)/(cos x))

= underset(x -> 0)(lim) (3 x^2 cos x)/(sen^2 x)

Quando temos uma constante multiplicando a função no limite, podemos passar ela para fora:

3 underset(x -> 0)(lim) (x^2 cos x)/(sen^2 x)

Como o limite do produto é o produto dos limites temos:

3 * underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(sen^2 x) * underset(x -> 0)(lim) cos x

= 3 * underset(x -> 0)(lim) ((sen x)/(x))^(- 2) * underset(x -> 0)(lim) cos x

No caso do underset(x -> 0)(lim) ((sen x)/(x))^(- 2) podemos passar o expoente para fora, então:

= 3 * (underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x))^(- 2) * underset(x -> 0)(lim) cos x

Passo 3

Pelo limite fundamental, sabemos que underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1 . Logo:

= 3 * (1)^(- 2) * 1

= 3

Portanto,

underset(x -> 0)(lim) (3 x^2)/(tg x sen x) = 3

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (3 x^2)/(tg x sen x) = 3

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