Calcule.

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x)

Passo 1

Podemos multiplicar o numerador e o denominador por 1 + cos x , o que nos dá:

(1 - cos x)/(x) = ((1 - cos x) (1 + cos x))/(x (1 + cos x)) = (1 - cos^2 x)/(x (1 + cos x))

Pela relação trigonométrica, sabemos que:

sen^2 x + cos^2 x = 1

Assim:

cos^2 x - 1 = sen^2 x

Então, a nossa função pode ser reescrita como:

(1 - cos^2 x)/(x (1 + cos x)) = (sen^2 x)/(x (1 + cos x))

Passo 2

Multiplicando por (x)/(x) temos o limite:

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (x sen^2 x)/(x^2 (1 + cos x)) = underset(x -> 0)(lim) (sen^2 x)/(x^2) xx (x)/(1 + cos x) = underset(x -> 0)(lim) ((sen x)/(x))^2 xx (x)/(1 + cos x)

Se o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) ((sen x)/(x))^2 xx underset(x -> 0)(lim) (x)/(1 + cos x) = (underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x))^2 xx underset(x -> 0)(lim) (x)/(1 + cos x)

Resolvendo o limite, temos:

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = (underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x))^2 xx underset(x -> 0)(lim) (x)/(1 + cos x) = 1^2 xx (0)/(1 + 1) = 0

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = 0

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

underset(x - 0)(lim) (sin 4 x)/(x)
underset(x - 0)(lim) (x^2)/(sin^2 3 x)
underset(y - 0)(lim) (3 y)/(sin 5 y)
underset(x - 0)(lim) (sin^5 2 x)/(4 x^5)
underset(x - pi^+)(lim) (sin x)/(x - pi) (Sugestão: seja t = x - pi )