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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1h

Calcule.

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x)

Passo 1

Podemos multiplicar o numerador e o denominador por 1 + cos x , o que nos dá:

(1 - cos x)/(x) = ((1 - cos x) (1 + cos x))/(x (1 + cos x)) = (1 - cos^2 x)/(x (1 + cos x))

Pela relação trigonométrica, sabemos que:

sen^2 x + cos^2 x = 1

Assim:

cos^2 x - 1 = sen^2 x

Então, a nossa função pode ser reescrita como:

(1 - cos^2 x)/(x (1 + cos x)) = (sen^2 x)/(x (1 + cos x))

Passo 2

Multiplicando por (x)/(x) temos o limite:

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (x sen^2 x)/(x^2 (1 + cos x)) = underset(x -> 0)(lim) (sen^2 x)/(x^2) xx (x)/(1 + cos x) = underset(x -> 0)(lim) ((sen x)/(x))^2 xx (x)/(1 + cos x)

Se o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) ((sen x)/(x))^2 xx underset(x -> 0)(lim) (x)/(1 + cos x) = (underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x))^2 xx underset(x -> 0)(lim) (x)/(1 + cos x)

Resolvendo o limite, temos:

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = (underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x))^2 xx underset(x -> 0)(lim) (x)/(1 + cos x) = 1^2 xx (0)/(1 + 1) = 0

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = 0

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(x) = 0

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lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x x
lim x → 0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ 3 x
lim y → 0 ⁡ 3 y sin ⁡ 5 y
lim x → 0 ⁡ sin 5 ⁡ 2 x 4 x 5
lim x → π + ⁡ sin ⁡ x x - π (Sugestão: seja t = x - π )