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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.3 - Ex. 48

Encontre o limite.

underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/(x^2 + x - 2)

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/(x^2 + x - 2)

Onde a gente pode fazer o seguinte utilizando as propriedades dos limites:

underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/(x^2 + x - 2) = (underset(x -> 1)(lim) sen (x - 1))/(underset(x -> 1)(lim) x^2 + x - 2)

Mas perceba que:

underset(x -> 1)(lim) sen (x - 1) = 0

E

underset(x -> 1)(lim) x^2 + x - 2 = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Dessa forma, teremos que fazer algumas manipulações para encontrarmos o valor do limite!!

Bora lá 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação.

Podemos fatorar o denominador:

x^2 + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

Então:

underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/(x^2 + x - 2) = underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/((x + 2) (x - 1))

Como o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/(x^2 + x - 2) = underset(x -> 1)(lim) (1)/((x + 2)) xx underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/((x - 1))

Passo 3

Para o limite underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/((x - 1)) , aplicando a troca de variáveis w = x - 1 de modo que quando x -> 1 então w -> 0 e x != 1 implica em w != 0 , logo:

underset(x -> 0)(lim) (sen (x - 1))/((x - 1)) = underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w)

Com base no limite fundamental underset(w -> 0)(lim) (sen w)/(w) = 1 temos então:

underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/((x - 1)) = 1

Passo 4

Para o limite underset(x -> 1)(lim) (1)/((x + 2)) , como underset(x -> 1)(lim) (x + 2) = 3 e 3 != 0 , então:

underset(x -> 1)(lim) (1)/((x + 2)) = (1)/(3)

Logo:

underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/(x^2 + x - 2) = (1)/(3)

Entendeu direitinho??? Responde aee 😉

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (sen (x - 1))/(x^2 + x - 2) = (1)/(3)

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