Encontre o limite.

lim x → π 4 ⁡ 1 - tg ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x

Passo 1

Oieee bora resolver comigo

O enunciado pede que encontremos o limite da função

lim x → π 4 ⁡ 1 - tg ⁡ x sin ⁡ x - cos ⁡ x

Quando x se aproxima de π / 4   .

Para resolver este limite, primeiro podemos tentar uma abordagem direta de substituir x por π / 4 e verificar se obtemos uma forma indeterminada 0 / 0 ou ∞ / ∞ .

Se não, podemos tentar simplificar a expressão para que possamos aplicar a substituição novamente.

Passo 2

Então, vamos resolver o limite:

lim x → π 4 ⁡ 1 - tg ⁡ x sin ⁡ x - cos ⁡ x

Substituindo x por π / 4 obtemos:

= 1 - tan ⁡ π 4 sin ⁡ π 4 - cos ⁡ π 4  

= 1 - 1 2 2 - 2 2

= 0 0

Agora, temos uma forma indeterminada 0 / 0 .

Isso significa que podemos tentar simplificar a expressão para poder aplicar uma técnica de resolução de limites, como L'Hôpital ou alguma manipulação algébrica.

Passo 3

Vamos tentar simplificar a expressão utilizando identidades trigonométricas.

Podemos escrever tan ⁡ x como sin ⁡ x cos ⁡ x

Então:

= 1 - sin ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x - cos ⁡ x

= cos ⁡ x - sin ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x - cos ⁡ x

= - sin ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x - cos ⁡ x

Passo 4

Agora, podemos cancelar o denominador com o numerador e obtemos:

= - 1 cos ⁡ x

Agora, substituímos x por π / 4 novamente:

- 1 cos ⁡ π 4

= - 1 2 2  

= - 2

Portanto, o limite da função é - 2 quando x se aproxima de   π / 4

Resposta

Portanto, o limite da função é - 2 quando x se aproxima de   π / 4

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