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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.3 - Ex. 43

Encontre o limite.

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ ( cos ⁡ θ ) sec ⁡ θ

Passo 1

Eaeee, belezinha???

Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ ( cos ⁡ θ ) sec ⁡ θ

Parece complicado?

Para facilitar a solução desse limite, precisamos saber que o inverso da secante é o cosseno, ou seja:

1 sec ⁡ θ = cos ⁡ θ

Então assim vamos ter uma função que sabemos trabalhar com facilidade.

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Sendo assim,

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ ( cos ⁡ θ ) sec ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 1 sec ⁡ θ sen ⁡ ( cos ⁡ θ )

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ ( cos ⁡ θ )

Agora podemos substituir o θ = 0 , pois é uma função contínua (funções trigonométricas são contínuas em todo seu domínio).

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ ( cos ⁡ θ ) sec ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ sen ⁡ cos ⁡ θ

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ ( cos ⁡ θ ) sec ⁡ θ = cos ⁡ 0 sen ⁡ cos ⁡ 0

Sabemos que cos ⁡ 0 = 1 , logo

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ ( cos ⁡ θ ) sec ⁡ θ = 1 sen ⁡ 1

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ ( cos ⁡ θ ) sec ⁡ θ = sen ⁡ 1

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ ( cos ⁡ θ ) sec ⁡ θ = sen ⁡ 1

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Se f (x) = x ² + 5 x - 3 , ² mostre que underset(x - 2)(lim) f (x) = f ( 2 ) .