Enunciado

Nos exercícios de 21 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

33 )   lim x → 0 ⁡ x + 2 - 2 x

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando x está se aproximando de 0, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f x = x + 2 - 2 x = x + 2 - 2 x . x + 2 + 2 x + 2 + 2 = x + 2 - 2 x x + 2 + 2 = 1 x + 2 + 2

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Então precisamos resolver:

l i m x → 0   1 x + 2 + 2

Pelo Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

l i m x → 0   1 x + 2 + 2 =   l i m x → 0   1 l i m x → 0 x + 2 + 2

Pelo Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m x → 0   1 l i m x → 0 x + 2 + 2 = l i m x → 0   1 l i m x → 0 x + 2 + l i m x → 0 2

Usando o Teorema 10:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L ,   e n t ã o   l i m x → a f ( x ) = L

l i m x → 0   1 l i m x → 0 x + 2 + l i m x → 0 2 = l i m x → 0   1 l i m x → 0   x + 2 + l i m x → 0 2

Usando o Teorema2:

l i m x → 0   1 = 1

l i m x → 0 2 = 2

Pelo Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m x → 0   x + 2 = 0 + 2 = 2

Concluindo:

l i m x → 0   1 l i m x → 0   x + 2 + l i m x → 0 2 = 1 2 2 = 2 4

Resposta

lim x → 0 ⁡ x + 2 - 2 x = 2 4

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Para o limite lim x → 0 ⁡ cot 2 ⁡ ( x ) = ∞ Ilustre a definição encontrando os valores de δ que correspondam a aM = 100 e bM = 1000 .
Calcule o limite, se ele existir.
Calcule o limite, se ele existir.
Calcule o limite e justifique cada passo indicando as regras do limite utilizadas.
Calcule o limite, se ele existir.