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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 36

Encontre o limite.

underset(x -> 0)(lim) ((1)/(x) - (1)/(e^x - 1))

Passo 1

Primeiramente vamos reorganizar isso daí que a gente tem. Podemos reescrever isso como:

underset(x -> 0)(lim) (- 1 + e^x - x)/(x (e^x - 1))

Aplicando a regra de L’hopital:

underset(x -> 0)(lim) (e^x - 1)/(- 1 + e^x + x e^x)

Aplicando l’hopital novamente temos:

underset(x -> 0)(lim) (e^x)/(e^x + e^x + x e^x)

Passo 2

Aplicando o valor do limite temos:

underset(x -> 0)(lim) (e^x)/(e^x + e^x + x e^x)

(e^0)/(e^0 + e^0 + 0 . e^0) = (1)/(1 + 1 + 0) = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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