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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 54

Faça uma conjectura sobre as equações das assíntotas horizontais, se houver, por meio do gráfico da equação obtida por um recurso computacional; verifique sua resposta usando a regra de L’Hôpital.

y = x - l n ⁡ ( 1 + 2 e x )

Passo 1

Para essa questão vale lembrar que temos uma assíntota horizontal quando nosso x tende para mais e menos infinito, e encontramos uma constante como resultado desse limite. Caso contrário, não possuímos uma AH. Por meio do plote do gráfico podemos observar que a função aparente possuir uma AH em y por volta de -1. Vamos calcular o limite para confirmar isso.

Passo 2

lim x → ∞ ⁡ x - l n ⁡ ( 1 + 2 e x )

Reescrevendo x como ln ⁡ e x   ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x - l n ⁡ ( 1 + 2 e x )

Podemos agora aplicar a propriedade do ln, onde ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x 1 + 2 e x

ln ⁡ lim x → ∞ ⁡ e x 1 + 2 e x

Colocando o e x em evidencia ficamos com:

ln ⁡ lim x → ∞ ⁡ 1 1 e - x + 2

ln ⁡ 1 0 + 2   = ln ⁡ 1 2 ≈ - 0,69

Resposta

ln ⁡   1 2  

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Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A regra de L’Hospital não é aplicável a lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ x x
Calcule o limite dado sem usar a regra de L’Hospital e depois use-a para conferir sua resposta. a lim x →0 ⁡ s e n x t g x
Encontre o limite.underset(x - oo^+)(lim) (ln x)/(x)
Calcule o limite dado sem usar a regra de L’Hospital e depois use-a para conferir sua resposta. b lim x → ∞ ⁡ 2 x - 5 3 x + 7
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se p ( x ) for um polinômio qualquer, então lim x → ∞ ⁡ p x e x = 0