Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 37
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
E aí, galerinha! Nesse problema temos que calcular o seguinte limite:
Para isso, o enunciado diz que devemos utilizar a Regra de L’Hôspital, caso seu uso seja apropriado. Porém, caso exista um método mais elementar, devemos considerar utilizá-lo.
De maneira resumida, essa regra diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas estejam satisfeitas.
Ou seja, se e são deriváveis, valendo que
ou
e também que
então
Essa regra é uma forma de resolver limites indeterminados do tipo ou . Mas, temos que tomar cuidado! É MUUUUUUITO importante que as condições sejam válidas. Caso contrário, não podemos utilizá-la, combinado?
Para resolver essa questão, vamos usar a seguinte propriedade de limite:
Caso seja possível calcular dessa forma, resolvemos a questão. Se não for, precisamos verificar se valem as condições necessárias para usarmos L’Hôspital e, se sim, usá-la.
Bora lá!
Passo 2
Fazendo e , vamos ter os seguintes limites:
e
Assim, como vale que
então usando os limites encontrados acima:
Conseguimos calcular de forma simples, né?
Mas vamos ver se seria possível usar a Regra de L’Hôspital? Espia só o próximo passo.
Passo 3
Como o limite
não é indeterminado do tipo ou , não podemos usar a regra, pois nenhuma das duas condições
ou
é satisfeita.
Resposta
Não é possível usar a Regra de L’Hôspital, e o limite procurado é