Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 54
A velocidade de queda de um objeto pode ser definida através do modelo
Com m sendo a massa do objeto, g a aceleração da gravidade, k constante, t é medido em segundos e v é a velocidade, em m/s.
Calcule a velocidade terminal do objeto, para quando uma pessoa de 60 kg cai de barriga (k =0,515 kg/s) e quando cai de pé (k = 0,067 kg/s).
Passo 1
Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.
Bom, ele nos dá a relação da velocidade de queda de um objeto e nos pede para calcular os limites (por isso a velocidade terminal, ou seja, o tempo tendendo a infinito) para as duas situações.
Na primeira situação devemos considerar que o objeto é uma pessoa de que cai de barriga () e na segunda ela cai de pé ().
Na nossa expressão, temos uma tangente hiperbólica, por conta disso, talvez facilite se lembrarmos como ela é definida:
Então bora lá?
Passo 2
Dessa forma, olhando para nossa expressão, temos:
Podemos perceber que apenas a tangente hiperbólica depende de , dessa forma, podemos nos perguntar qual será o valor dessa velocidade quando tende ao infinito, ou seja:
Vamos olhar agora para a tangente hiperbólica:
O que acontece como essa tangente hiperbólica quando tende ao infinito?
Se aplicarmos os limites nas exponenciais que estão dividindo, teremos:
E a função exponencial quando vai pra infinito também vai pra infinito, logo:
E assim, podemos cortar com , de forma, que temos:
Ou seja, podemos dizer que o limite da função tangente hiperbólico quando seu argumento vai para infinito é igual a 1.
Passo 3
Queremos encontrar a velocidade terminal, isso é:
E vimos que quando o argumento da tangente hiperbólica vai para infinito, seu valor vai para 1, portanto:
Dessa forma, temos que a velocidade terminal vai ser puramente:
Agora, basta substituir os valores para cada caso e encontrar a velocidade terminal.
Passo 4
No primeiro caso temos:
Já no segundo caso temos:
Resposta
E