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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 13

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ p x tg ⁡ q x

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ p x tg ⁡ q x → tg ⁡ p . 0 tg ⁡ q . 0 → tg ⁡ 0 tg ⁡ 0 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ p x tg ⁡ q x = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ p x . p x ' sec 2 ⁡ q x . q x ' = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ p x . p . x 1 - 1 sec 2 ⁡ q x . q . x 1 - 1 = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ p x . p . 1 sec 2 ⁡ q x . q . 1 = lim x → 0 ⁡ p sec 2 ⁡ p x q sec 2 ⁡ q x = lim x → 0 ⁡ p cos 2 ⁡ p x q cos 2 ⁡ q x = lim x → 0 ⁡ p cos 2 ⁡ p x cos 2 ⁡ q x q = p cos 2 ⁡ p . 0 cos 2 ⁡ q . 0 q = p 1 2 1 2 q = p q

Resposta

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ p x tg ⁡ q x = p q

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Calculed) lim x → 0 ⁡ x - t gx x 3
Calculee) lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x e 3 x
Calculec) lim x → + ∞ ⁡ e 2 x x 3
Calculeb) lim x → 1 ⁡ x 100 - x 2 + x - 1 x 10 - 1
Calculef) lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ x