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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 3d

Calcule

d) underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Perceba que há uma indeterminação do tipo “ (0)/(0) “

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = (0 - 0)/(0) = (0)/(0)

Então vamos aplicar L’Hospital para resolver esse limite!

Passo 2

Vamos derivar o numerador e denominador

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = underset(x -> 0)(lim) ((x - t g x) ')/((x^3)^')

Derivando ficamos com,

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = underset(x -> 0)(lim) (1 - sec^2 x)/(3 x^2)

Lembrando que (tg x) ' = sec^2 x .

A gente ainda pode reescrever essa função de outra forma aplicando a seguinte identidade trigonométrica,

sec^2 x = 1 + tg^2 x

Logo,

underset(x -> 0)(lim) (1 - (1 + t g^2 x))/(3 x^2) = underset(x -> 0)(lim) - (t g^2 x)/(3 x^2)

Aplicando o limite, chegamos na mesma indeterminação,

underset(x -> 0)(lim) - (t g^2 x)/(3 x^2) = (0)/(0)

Vamos sair dessa indeterminação!

Passo 3

Vamos escrever o limite assim:

underset(x -> 0)(lim) - (t g^2 x)/(3 x^2) = underset(x -> 0)(lim) - (((s e n x)/(cos x))^2)/(3 x^2) = underset(x -> 0)(lim) (- (1)/(3 cos^2 x)) ((s e n x)/(x))^2

A gente pode escrever esse limite como um produto,

underset(x -> 0)(lim) (- (1)/(3 cos^2 x)) ((s e n x)/(x))^2 = (underset(x -> 0)(lim) - (1)/(3 cos^2 x)) (underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x))^2

Assim, podemos fazer aparecer o limite fundamental underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x) = 1 , o que simplifica a nossa vida:

underset(x -> 0)(lim) - (t g^2 x)/(3 x^2) = (underset(x -> 0)(lim) - (1)/(3 cos^2 x)) . 1 = underset(x -> 0)(lim) - (1)/(3 cos^2 x) = - (1)/(3)

Logo,

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = - (1)/(3)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = - (1)/(3)

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