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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1e

Calcule

e) underset(x -> + oo)(lim) (ln x)/(e^(3 x))

Passo 1

Perceba que quando tentamos substituir x = + oo no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ (oo)/(oo) ” :

underset(x -> + oo)(lim) (ln x)/(e^(3 x)) -> (ln (+ oo))/(e^(+ oo)) -> (oo)/(oo)

Passo 2

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, assim:

underset(x -> + oo)(lim) (ln x)/(e^(3 x)) = underset(x -> + oo)(lim) ((ln x)^')/((e^(3 x))^') = underset(x -> + oo)(lim) ((1)/(x))/(e^(3 x) (3)) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(3 x e^(3 x))

Repare que substituindo x = + oo , a indeterminação desaparece:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(3 x e^(3 x)) -> (1)/(3 (+ oo) e^(+ oo)) -> (1)/(oo * oo) -> (1)/(oo) -> 0

Logo,

underset(x -> + oo)(lim) (ln x)/(e^(3 x)) = 0

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (ln x)/(e^(3 x)) = 0

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