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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1b

Calcule

b) underset(x -> 1)(lim) (x^(100) - x^2 + x - 1)/(x^(10) - 1)

Passo 1

Perceba que quando tentamos substituir x = 1 no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ 0 // 0 ” :

underset(x -> 1)(lim) (x^(100) - x^2 + x - 1)/(x^(10) - 1) -> (1 - 1 + 1 - 1)/(1 - 1) -> (0)/(0)

Passo 2

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador:

underset(x -> 1)(lim) (x^(100) - x^2 + x - 1)/(x^(10) - 1) = underset(x -> 1)(lim) ((x^(100) - x^2 + x - 1)^')/((x^(10) - 1)^') = underset(x -> 1)(lim) (100 x^(99) - 2 x + 1 + 0)/(10 x^9 + 0)

Repare que substituindo x = 1 , não há mais indeterminação:

underset(x -> 1)(lim) (100 x^(99) - 2 x + 1)/(10 x^9) = (100 - 2 + 1)/(10) = (99)/(10)

Logo,

underset(x -> 1)(lim) (x^(100) - x^2 + x - 1)/(x^(10) - 1) = (99)/(10)

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (x^(100) - x^2 + x - 1)/(x^(10) - 1) = (99)/(10)

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