Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.

y = 4x - x^2, y = x

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas seguintes curvas:

y = 4 x - x 2

y = x

Colocando isso em um gráfico temos:

Ou seja, essa região azulzinha vai ser rotacionada em torno do eixo y . O volume do sólido que a gente obtem é dada por:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Temos que a altura da curva é dada pela diferença entre a amplitude delas, ou seja:

f x = ( 4 x - x 2 ) - ( x )

f x = 3 x - x 2

Pra determinar os intervalos de integração vamos calcular as intesecções:

4 x - x 2 = x

x = 0   ,   x = 3

Sendo assim, aplicando método das cascas cilíndricas, obtemos:

V =   ∫ 0 3 2 π x   3 x - x 2 d x

Passo 3

Constantes pra fora!

V = 2 π ∫ 0 3   3 x 2 - x 3 d x  

Resolvendo a integral:

V = 2 π 3 x 3 3 - x 4 4 0 3

V = 2 π 3 3 - 3 4 4

V = 27 π 2  

Prontinho!

Resposta

V = 27 π 2  

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