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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 3

Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.

Dadas as funções e o intervalo:

f x = s e n ( x )

g x = cos ⁡ x

(a,b) = (0, π )

Passo 1

Bem, galera, o Teorema referido no enunciado é dado por:

f b - f a g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

Mas, se liguem: em alguns casos, as soluções podem apresentar mais de um valor para ‘z’, mas, só é considerado um valor para ‘z’ e ele está dentro do intervalo aberto (a,b)!!!

Passo 2

Vamos resolver separadamente cada equação:

f x = s e n ( x )

f b - f a = f π - f 0 = s e n π - s e n 0 = 0 - 0 = 0

g x = c o s ⁡ ( x )

g b - g a = g π - g 0 = cos ⁡ π - cos ⁡ 0 = - 1 - 1 = - 2

Logo, sabemos que:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = 0 - 2 = 0

Passo 3

Agora precisamos resolver o outro lado da equação e, novamente, vamos responder separadamente:

f x = s e n x

f ' x = cos ⁡ x

f ' z = c o s ⁡ ( z )

g x = c o s ⁡ x

g ' x = - s e n ( x )

g ' z = - s e n ( z )

Logo, também sabemos que:

f ' ( z ) g ' ( z ) = c o s ⁡ ( z ) - s e n ( z )

Passo 4

Agora, a última etapa, vamos igualar as equações:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

0 = cos ⁡ z - s e n z

0 = cos ⁡ z s e n z

Se liguem: como s e n z ≠ 0 , cos ⁡ z = 0 .

No intervalo dado (a,b)=(0, π ) , somente em z = π 2 , o c o s ⁡ ( z ) será igual a 0 (zero).

Resposta

z = π 2

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