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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 1

Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.

Dadas as funções e o intervalo:

f x = x 3

g x = x 2

(a,b) = (0,2)

Passo 1

Bem, galera, o Teorema referido no enunciado é dado por:

f b - f a g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

Mas, se liguem: em alguns casos, as soluções podem apresentar mais de um valor para ‘z’, mas, só é considerado um valor para ‘z’ e ele está dentro do intervalo aberto (a,b)!!!

Passo 2

Vamos resolver separadamente cada equação:

f x = x 3

f b - f a = f 2 - f 0 = 2 3 - 0 3 = 8

g x = x 2

g b - g a = g 2 - g 0 = 2 2 - 0 2 = 4

Logo, sabemos que:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = 8 4 = 2

Passo 3

Agora precisamos resolver o outro lado da equação e, novamente, vamos responder separadamente:

f x = x 3

f ' x = 3 x 2

f ' z = 3 z 2

g x = x 2

g ' x = 2 x

g ' z = 2 z

Logo, também sabemos que:

f ' ( z ) g ' ( z ) = 3 z 2 2 z

Fiquem ligados: como sabemos, pelo Teorema do Valor Médio de Cauchy, ‘z’ está dentro do intervalo ABERTO (0,2), então z ≠ 0!!! Isso é uma coisa muito boa pra gente porque, com isso, a gente pode fazer a simplificação dessas frações então, simbora!!!

f ' ( z ) g ' ( z ) = 3 z 2 2 z

f ' ( z ) g ' ( z ) = 3 z 2

Passo 4

Agora, a última etapa, vamos igualar as equações:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

2 = 3 z 2

3 z = 4

z = 4 3

Resposta

z = 4 3

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