Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → π / 4 ⁡ 1 - t g   x sec ⁡ x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:

lim x → π / 4 ⁡ 1 - t g   x sec ⁡ x

E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.

Então vamos relembrar que regra é essas para gente possa usar.

A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.

A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.

Assim, se

lim x → a ⁡   f x g x = ∞ ∞

Podemos fazer:

lim x → a ⁡   f x g x = lim x → a ⁡   f ' x lim x → a ⁡   g ' x

Agora vamos tentar calcular nosso limite e caso precise a gente usa essa regra. Beleza?!

Passo 2

O limite que precisamos calcular é:

lim x → π 4 ⁡ 1 - t g   x sec ⁡ x

E podemos usar que sec ⁡ x = 1 / cos ⁡ x para reescrever o limite. Assim, ele se torna:

lim x → π / 4 ⁡ 1 - t g   x cos ⁡ x

Aplicando direitamente a tendência de x na função, teremos:

lim x → π / 4 ⁡ 1 - t g   x cos ⁡ x = 1 - t g   π / 4 cos ⁡ π / 4

Como t g   π / 4 = 1 e cos ⁡ π / 4 = 2 / 2 , o limite não é indeterminado, e teremos:

lim x → π / 4 ⁡ 1 - t g   x cos ⁡ x = 1 - 1 2 / 2 = 0

Como o limite não é indeterminado, não precisamos usar a regra de L’Hospital nesse caso!!!

Resposta

lim x → π / 4 ⁡ 1 - t g   x sec ⁡ x = 0

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