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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 5

Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.

Dadas as funções e o intervalo:

f x = x + 5

g x = x + 3

(a,b) = (-4,-1)

Passo 1

Bem, galera, o Teorema referido no enunciado é dado por:

f b - f a g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

Mas, se liguem: em alguns casos, as soluções podem apresentar mais de um valor para ‘z’, mas, só é considerado um valor para ‘z’ e ele está dentro do intervalo aberto (a,b)!!!

Passo 2

Vamos resolver separadamente cada equação:

f x = x + 5

f b - f a = f - 1 - f - 4 = 4 - 1 = 2 - 1 = 1

g x = x + 3

b - g a = g - 1 - g - 4 = 2 - - 1 = 2 + 1 = 3

Logo, sabemos que:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = 1 3

Passo 3

Agora precisamos resolver o outro lado da equação e, novamente, vamos responder separadamente:

f x = x + 5

f ' x = 1 2 x + 5

f ' z = 1 2 z + 5

g x = x + 3

g ' x = 1

g ' z = 1

Logo, também sabemos que:

f ' ( z ) g ' ( z ) = 1 2 z + 5 1 = 1 2 z + 5

Passo 4

Agora, a última etapa, vamos igualar as equações:

f b - f ( a ) g b - g ( a ) = f ' ( z ) g ' ( z )

1 3 = 1 2 z + 5

1 3 2 = 1 2 z + 5 2

1 9 = 1 4 | z + 5 | *

4 z + 5 = 9

z + 5 = 9 4 **

*: Ao elevarmos ao quadrado a equação que contém uma raiz quadrada, temos, como resultado, uma equação modular!!!

**: A equação dada possui 2 soluções, vamos verificar qual será válida!!!

z 1 + 5 = 9 4 z 2 + 5 = - 9 4

z 1 = - 11 4 z 2 = - 29 4

Atenção, galera: o ‘z’ que queremos precisa estar compreendido no intervalo aberto (a,b) = (-4,-1) e z 1 = - 2,75 e z 2 = - 7,25 .

Resposta

z = - 11 4

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