Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 40
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas como ou .
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Antes de tudo, vamos tomar o limite e ver o que ocorre.
Quando , e
de modo que temos um produto do tipo
Mas essa não é uma indeterminação em que podemos usar a regra de L’Hospital.
Sendo assim, vamos mexer um poquinho na função para forçar a aparecer uma indeterminação do tipo que precisamos.
Ou seja, uma indeterminação do tipo 0/0 ou /.
Passo 3
Vamos reescrever jogando a exponencial para baixo com o seu expoente negativo. Assim nosso limite se torna:
Como quando , , temos uma indeterminação do tipo
Agora podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Lembrando que, se:
Podemos fazer:
Então precisamos das derivadas das funções que estão no numerador e no denominador. Assim, faremos:
Com
E
Com
E nosso limite se torna:
Passo 4
Aplicando o limite, ficamos com:
Note que seguimos tendo uma indeterminação do tipo /, de modo que podemos aplicar a regra novamente. Assim, derivando em cima e embaixo, teremos:
E recalculando o limite, ficamos com:
E prontinho. Encontramos nosso limite.