Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 77
Se um montante inicial de dinheiro for investido a uma taxa de juros capitalizados vezes ao ano, o valor do investimento após anos será
Se , nos referimos à capitalização contínua de juros. Use a regra de L’Hospital para mostrar que se os juros forem capitalizados continuamente, então o montante após anos será
Passo 1
Fala aí, tudo bem com você?
Bom, nesse exercício o enunciado nos dá uma expressão para o montante de um investimento, sendo:
E quer que a gente mostre que se os juros forem capitalizados continuamente, então o montante após anos será
sendo , para nos referirmos à capitalização contínua de juros
e deseja saber o que ocorre no limite com fixo e .
Para isso, vamos calcular o limite usando a regra de L’Hospital.
E pra isso, vamos lembrar dessa regra.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Quando aplicamos diretamente a tendência , temos:
O que é uma indeterminação, mas ela não é do tipo L’Hospital.
Assim, antes de aplicarmos a regra de L’Hospital, temos que modificar um pouco o limite, e faremos isso usando um pouco de álgebra para reescrever essa função.
Passo 3
Podemos começar lembrando que , assim, podemos escrever:
Sendo:
Teremos:
E separando os expoentes, ficamos com:
Que pode ser escrito como:
Assim, nosso limite se transformou em:
E passando o limite para o expoente, teremos:
Desta forma, o limite que nos interessa calcular é
Passo 4
Podemos também fazer a mudança de variável , assim quando , . O limite fica:
E aplicando a tende , teremos:
Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital
Lembrando que, como:
Podemos fazer:
Aplicando a regra, a nossa função devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador, assim:
Assim,
E demonstramos o que queríamos desde o início.
Resposta
Demonstração.