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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 18

Calcule o limite, se ele existir.

underset(x -> 0)(lim) (e^(2 x^2) - 1)/(sin^2 x)

Passo 1

Desde que a Regra de L’Hôpital apareceu nas nossas vidas, as indeterminações não nos atingem mais! :D Então, vamo aplicar L’Hôpital nesse limite:

underset(x -> 0)(lim) (e^(2 x^2) - 1)/(sin^2 x) = underset(x -> 0)(lim) (4 x e^(2 x^2))/(2 sin x cos x)

Essa derivação do numerador foi feita com a substituição u = x^2 .

Passo 2

Simplificando,

underset(x -> 0)(lim) (4 x e^(2 x^2))/(2 sin x cos x) = underset(x -> 0)(lim) (4 x e^(2 x^2))/(sin ( 2 x )) .

Como, até agora, não demos um jeito no limite, bora recorrer pra L’Hôpital de novo!

underset(x -> 0)(lim) (4 x e^(2 x^2))/(sin ( 2 x )) = underset(x -> 0)(lim) (4 e^(2 x)^2 + 16 x^2 e^(2 x)^2)/(2 * cos 2 ( x ))

Passo 3

Agora, é só correr pro abraço! Fazendo x -> 0 , o resultado é

underset(x -> 0)(lim) (e^(2 x^2) - 1)/(sin^2 x) = 2 .

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (e^(2 x^2) - 1)/(sin^2 x) = 2 .

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