Suponha que todas as funções sejam duas vezes deriváveis e que as segundas derivadas nunca sejam nulas.

Suponha que e sejam ambas côncavas para cima em . Sob que condições em a função compostas será côncava para cima?

Vamos achar .

Primeiro, vamos achar a primeira derivada, que será dada por uma regra da cadeia.

Agora, vamos encontrar a segunda derivada:

Aqui teremos uma regra da cadeia de novo, além da regra do produto:

E queremos que .

Bom, pelo enunciado sabemos que:

Isso é válido para qualquer valor de , portanto:

E o fator que multiplica por ele está elevado ao quadrado, logo:

Portanto, o primeiro termo dessa segunda derivada sempre é positivo:

Vamos olhar agora para o segundo termo que é:

Pelo enunciado temos que:

Portanto, precisamos apenas que:

Generalizando, podemos dizer que queremos que:

Ou seja, a função também será côncava para cima se a função tiver derivada maior que zero, isso é, se a função for crescente.

Assim, é côncavo para cima se é crescente.