Calcule o limite, se ele existir.

lim x → 0 ⁡ e x - cos ⁡ x x   sin ⁡ x

Passo 1

Desde que a Regra de L’Hôpital apareceu nas nossas vidas, as indeterminações não nos atingem mais! :D Então, vamo de L’Hôpital:

lim x → 0 ⁡ e x - cos ⁡ x x   sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e x +   sin ⁡ x sin ⁡ x + x cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e x +   sin ⁡ x × lim x → o ⁡ 1 sin ⁡ x + x cos ⁡ x

Antes de partir pra cima do limite com L’Hôpital de novo, bora refletir!

Passo 2

No produto

lim x → 0 ⁡ e x +   sin ⁡ x × lim x → o ⁡ 1 sin ⁡ x + x cos ⁡ x

O primeiro limite é igual a 1 mas o segundo não existe, já que os limites laterais vão ter sinais diferentes:

lim x → 0 + ⁡ 1 sin ⁡ x + x   cos ⁡ x =   + ∞

lim x → 0 - ⁡ 1 sin ⁡ x + x   cos ⁡ x =   - ∞

Passo 3

Como nossa conta levou a limites laterais diferentes, a conclusão é que o limite diverge.

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - cos ⁡ x x   sin ⁡ x   ∄ .

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