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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 12

Calcule o limite, se ele existir.

underset(x -> 0)(lim) (e^x - cos x)/(x sin x)

Passo 1

Desde que a Regra de L’Hôpital apareceu nas nossas vidas, as indeterminações não nos atingem mais! :D Então, vamo de L’Hôpital:

underset(x -> 0)(lim) (e^x - cos x)/(x sin x) = underset(x -> 0)(lim) (e^x + sin x)/(sin x + x cos x) = (underset(x -> 0)(lim) e^x + sin x) xx (underset(x -> o)(lim) (1)/(sin x + x cos x))

Antes de partir pra cima do limite com L’Hôpital de novo, bora refletir!

Passo 2

No produto

(underset(x -> 0)(lim) e^x + sin x) xx (underset(x -> o)(lim) (1)/(sin x + x cos x))

O primeiro limite é igual a 1 mas o segundo não existe, já que os limites laterais vão ter sinais diferentes:

underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(sin x + x cos x) = + oo

underset(x -> 0^-)(lim) (1)/(sin x + x cos x) = - oo

Passo 3

Como nossa conta levou a limites laterais diferentes, a conclusão é que o limite diverge.

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (e^x - cos x)/(x sin x) ∄ .

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