Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 40
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
E aí, galerinha! 😁
Bom, essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Vamos verificar se o limite é indeterminado, susbituindo por temos que
Assim , o limite é indeterminado do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Aplicando a regra derivando tanto o numerador como o denominador:
Derivando o numerador e o denominador.
Como no numerador temos:
Lembraremos que a derivada da exponencial é dada por:
E a derivada de uma constante é sempre igual a zero.
Assim:
E no denominador, temos:
E a derivada do seno é tabelada. Assim
E nosso limite se transforma em :
Trocando por temos que
Temos novamente uma indeterminação. Podemos, então, aplicar a regra novamente.
Passo 4
Derivando o numerador e o denominador novamente:
Como no numerador temos:
Lembraremos que a derivada da exponencial é dada por:
E a derivada de uma constante é sempre igual a zero.
Assim:
E no denominador, temos:
E a derivada cosseno é tabelada. Assim
E nosso limite se transforma em :
Trocando por temos que
Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, aplicamos a regra pela terceira vez.
Passo 5
E pela terceira vez fazendo as derivadas teremos o limite se transformando em:
Nosso limite se transforma em:
Assim,
E finalmente temos nosso limite sem indeterminação.