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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 42

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → a + ⁡ cos ⁡ x   ln ⁡ ( x - a ) ln ⁡ ( e x - e a )

Passo 1

E aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos apenas que calcular o limite.

Precisamos calcular o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital.

É importante lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou ∞ / ∞ . Todavia, caso seja mais fácil calcular o limite outra forma, devemos utilizá-la!!!

Passo 2

Susbituindo x por a temos que

lim x → a + ⁡ cos ⁡ x   ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

lim x → a + ⁡ cos ⁡ x ∙ lim ⁡   ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

Assim , o limite ln ⁡ 0 + ln ⁡ 0 + é indeterminado do tipo ∞ / ∞ e podemos aplicar a regra de L’Hospital. Mas antes disso, vamos separar o limite em

lim x → a + ⁡ cos ⁡ x   ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

= lim x → a + ⁡ cos ⁡ x ⋅ lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

= cos ⁡ a ⋅ lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

A indeterminação está no segundo limite, então é ele que devemos calcular primeiro.

Passo 3

Vamos calcular o limite indeterminado do tipo ∞ / ∞ :

lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

Usando a regra de L’Hospital:

lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

= lim x → a + ⁡ 1 x - a e x e x - e a

= lim x → a + ⁡ e x - e a x - a   e x

= 1 e a ⋅ lim x → a + ⁡ e x - e a x - a

Devemos calcular então o limite indeterminado do tipo 0/0:

lim x → a + ⁡ e x - e a x - a

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital novamente:

lim x → a + ⁡ e x - e a x - a

= lim x → a + ⁡ e x 1 = e a

Assim,

lim x → a + ⁡ ln ⁡ x - a ln ⁡ e x - e a

= 1 e a ⋅ e a = 1

E, desta forma,

lim x → a + ⁡ cos ⁡ x   ln ⁡ ( x - a ) ln ⁡ ( e x - e a ) = cos ⁡ a ⋅ 1 = cos ⁡ a

Resposta

cos ⁡ a .

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Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim x → 1 ⁡ x - 1 ln ⁡ x - s e nπ x
Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim x → 0 ⁡ x 2 ln ⁡ ( sec ⁡ ( x ) )
Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim x → 0 ⁡ s e nx - x x 3
Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo: lim x → - π 3 ⁡ 3 θ + π s e nθ + π 3
underset(y - 0^+)(lim) e^(- (1)/(y)) l n y