Enunciado

Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo:

lim x → 0 ⁡ s e n   x - x x 3

Passo 1

Vamos aplicar a Regra de l’Hôpital. Esse teorema diz que se exitir funções tais que f a = g a = 0 , em que f e g sejam deriváveis em um certo intervalo aberto I contendo a e que g ' x ≠ 0 nesse interevalo se x ≠ a , então :

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Para determinar

lim x → a ⁡ f x g x

pela regra de l’Hôpital você deve derivar f e g separadamente enquanto obter a forma 0/0 em x = a , ou seja, deriva o de cima e o de baixo separado (sem utulizar a forma da derivada do quociente) até não possuir mais indeterminação quando aplicar o limite.

Assim, temos que:

lim x → 0 ⁡ s e n   x - x x 3 = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - s e n   x 6 x = lim x → 0 ⁡ - cos ⁡ x 6   =   - 1 6

Resposta

- 1 6

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13 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim t → 0 ⁡ s e n( t 2 ) t
14 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim t → 0 ⁡ s e n( 5 t ) 2 t
10 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim t → 1 ⁡ 3 t 3 - 3 4 t 3 - x - 3
14 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim x → 0 ⁡ 8 x 2 cos ⁡ x - 1
10 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim x → ∞ ⁡ x - 8 x 2 12 x 2 + 5 x