( a ) Use uma ferramenta gráfica para fazer o gráfico de f x = 2 x - 3 x .

b Começando com o gráfico da parte a , esboce um gráfico da primitiva F que satisfaça F 0 = 1 .

( c ) Use as regras dessa seção para achar uma expressão para F ( x ) .

d Faça o gráfico de F usando a expressão da parte ( c ) . Compare com seu esboço da parte ( b ) .

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Bom, essa questão quer que estudemos o comportamento de uma função através de suas informações gráficas. Pra isso precisaremos responder quatro diferentes itens. Vejamos:

No item a) precisaremos usar uma ferramenta gráfica para fazer o gráfico da função:

f x = 2 x - 3 x

Depois disso, seguiremos para o item b). Onde, usando o gráfico do item a), vamos esboçar um novo gráfico da primitiva F que satisfaça F 0 = 1 .

Aqui temos que lembrar que a primitiva de uma determinada função, nada mais é que uma função F x que, ao ser derivada, tem como resultado a função f x dada.

Então, sabendo que

f x = F ' x

Podemos analisar seus sinais, e descobrir algumas informações importantes sobre a função F x , já que:

No item c), precisaremos usar as regras da sessão para achar uma expressão para F x . E as regras ao qual o enunciado se refere são as regras para encontrar a primitiva de uma função de acordo com suas características. E temos a seguinte tabelinha para nos ajudar:

E no item d), faremos o gráfico de F usando a expressão da parte c). Depois vamos comparar nosso resultado com seu esboço da parte b).

Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver como fica isso no passo a passo.

Vem comigo.

Passo 2

Item a). Vamos começar esboçando graficamente a função

f x = 2 x - 3 x

E teremos o seguinte gráfico:

Passo 3

Agora, no item b) podemos esboçar um novo gráfico da primitiva F que satisfaça F 0 = 1 , usando o gráfico anterior para tirarmos algumas conclusões.

Como F 0 = 1 , começamos o gráfico em ( 0 ,   1 ) .

Como

No ponto onde nossa função f possui um mínimo local temos um ponto onde a derivada é nula.

Dessa forma, esse ponto é um ponto de inflexão da nossa primitiva.

Nos intervalos onde nossa função é negativa, deveremos ter um decrescimento da primitiva e nos intervalos onde a função é positiva deveremos ter um crescimento da primitiva.

Podemos assim esboçar o seguinte gráfico

Passo 4

Agora, no item c) iremos encontrar a equação da primitiva com base em f ( x ) .

f x = 2 x - 3 x

Olhando a tabela de primitivas, vemos que:

É a regra mais indicada, então vamos reescrever nossa função colocando a raiz de x como uma potência de expoente fracionário. Assim:

f x = 2 x - 3 x 1 2

E sua primitiva será:

F x = 2 2 x 2 - 3 x 3 2 3 / 2 + C = x 2 - 2 x 3 2 + C

Ou melhor:

F x = x 2 - 2 x 3 2 + C

Perceba que derivando F ( x ) temos

F ' x = 2 x - 3 x

Dessa forma, como f x = F ' ( x ) , então F ( x ) é a primitiva de f ( x ) . Podemos encontrar o valor da constante C aplicando a seguinte condição

F 0 = 1

F x = x 2 - 2 x 3 2 + C

1 = 0 2 - 2 ( 0 ) 3 2 + C

C = 1

Dessa forma, temos

F x = x 2 - 2 x 3 2 + 1

Passo 5

Agora, no item d) esboçando o gráfico de F ( x ) , temos

Que condiz com o esboço do item ( b ) .

E prontinho.

Resposta

a

( b )

( c )

F x = x 2 - 2 x 3 2 + 1

( d )

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