Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 42
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
O exercício pede para calcularmos o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital.
Vale lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou /.
Uma dica importante que eu dou: só use a regra de L’Hospital se ela realmente simplificar o seu problema, ela é uma regra fantástica que faz você se apaixonar, mas se viciar nela é um problema!
Para encontrar o limite
Vamos analisar a expressão para determinar se a regra de L'Hôpital é apropriada ou se há um método mais elementar.
À medida que
- tende a .
- tende a
Estamos, portanto, lidando com a forma indeterminada .
Para resolver a forma indeterminada , podemos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar a regra de L'Hôpital.
Uma maneira de fazer isso é reescrever o produto como uma fração:
Agora temos uma forma , que é adequada para a aplicação da regra de L'Hôpital.
Passo 2
Aplicamos a regra de L'Hôpital, que nos diz para tomar as derivadas do numerador e do denominador:
Calculamos as derivadas:
- A derivada de é
- A derivada de
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, analisamos o novo limite. À medida que
- tende a
Portanto, a fração tende a
Portanto, o limite é:
A aplicação da regra de L'Hôpital foi apropriada e nos levou ao resultado final de forma clara e direta.
Resposta
.