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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 80

underset(x -> 4)(lim) (s e n^2 ( pi x ))/(e^(x - 4) + 3 - x)

Passo 1

Substituindo x = 4 , no numerador, temos:

s e n^2 ( pi 4 ) = 0 , pois 4 pi é múltiplo de 2 pi .

Substituindo x = 4 , no denominador, temos:

e^(4 - 4) + 3 - 4 = e^0 - 1 = 0

Portanto, podemos utilizar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:

underset(x -> 4)(lim) (s e n^2 ( pi x ))/(e^(x - 4) + 3 - x) = underset(x -> 4)(lim) (2 pi s e n (pi x) c o s ( pi x ))/(e^(x - 4) - 1)

2 pi s e n (pi 4) cos (pi 4) = 0

e^(4 - 4) - 1 = 0

Portanto, podemos utilizar a regra de l’Hôpital novamente.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:

underset(x -> 4)(lim) (2 pi s e n (pi x) c o s ( pi x ))/(e^(x - 4) - 1) = underset(x -> 4)(lim) (2 pi^2 ( cos^2 (pi x) - s e n^2 ( pi x ) ))/(e^(x - 4)) = underset(x -> 4)(lim) (2 pi^2 c o s ( 2 pi x ))/(e^(x - 4))

*Lembrando que: cos^2 (a) - s e n^2 (a) = c o s ( 2 a )

Para o novo limite, substituindo x = 4 , temos:

underset(x -> 4)(lim) (2 pi^2 c o s ( 2 pi x ))/(e^(x - 4)) = underset(x -> 4)(lim) (2 pi^2 c o s ( 2 pi 4 ))/(e^(4 - 4)) = underset(x -> 4)(lim) (2 pi^2 c o s ( 8 pi ))/(1) = 2 pi^2

Resposta

underset(x -> 4)(lim) (s e n^2 ( pi x ))/(e^(x - 4) + 3 - x) = 2 pi ²

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