lim x → 4 ⁡ s e n 2 ( π x ) e x - 4 + 3 - x

Passo 1

Substituindo x = 4 , no numerador, temos:

s e n 2 ( π 4 ) = 0 , pois 4 π   é múltiplo de 2 π .

Substituindo x = 4 , no denominador, temos:

e 4 - 4 + 3 - 4 = e 0 - 1 = 0

Portanto, podemos utilizar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:

lim x → 4 ⁡ s e n 2 ( π x ) e x - 4 + 3 - x = lim x → 4 ⁡ 2 π s e n π x c o s ⁡ ( π x ) e x - 4 - 1

2 π s e n π 4 cos ⁡ π 4 = 0

e 4 - 4 - 1 = 0

Portanto, podemos utilizar a regra de l’Hôpital novamente.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, temos:

lim x → 4 ⁡ 2 π s e n π x c o s ⁡ ( π x ) e x - 4 - 1 =   lim x → 4 ⁡ 2 π 2 ( cos 2 ⁡ π x - s e n 2 ( π x ) ) e x - 4 = lim x → 4 ⁡ 2 π 2 c o s ⁡ ( 2 π x ) e x - 4

*Lembrando que: cos 2 ⁡ a - s e n 2 a = c o s ⁡ ( 2 a )

Para o novo limite, substituindo x = 4 , temos:

lim x → 4 ⁡ 2 π 2 c o s ⁡ ( 2 π x ) e x - 4 = lim x → 4 ⁡ 2 π 2 c o s ⁡ ( 2 π 4 ) e 4 - 4 =   lim x → 4 ⁡ 2 π 2 c o s ⁡ ( 8 π ) 1 = 2 π 2

Resposta

lim x → 4 ⁡ s e n 2 ( π x ) e x - 4 + 3 - x = 2 π ²

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