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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 8

Calcule a integral.

int_0^(pi // 2) s e n^2 (2 theta) d theta

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Vamos primeiro fazer a mudança de variável t = 2 theta , de modo que d t = 2 d theta . Quando theta = 0 , t = 0 e para theta = pi // 2 , temos t = pi . Assim,

int_0^(pi // 2) s e n^2 (2 theta) d theta = (1)/(2) int_0^(pi) s e n^2 t d t

Para prosseguirmos com a integral, devemos lembrar a expressão do arco duplo:

cos 2 t = cos^2 t - s e n^2 t = 1 - s e n^2 t - s e n^2 t = 1 - 2 s e n^2 t

Assim,

s e n^2 t = (1 - cos 2 t)/(2)

Passo 2

Usando a relação do arco dobro:

int_0^(pi // 2) s e n^2 (2 theta) d theta = (1)/(2) int_0^(pi) (1 - cos 2 t)/(2) d t = (1)/(4) int_0^(pi) (1 - cos 2 t) d t

Passo 3

Calculando a integral:

int_0^(pi // 2) s e n^2 (2 theta) d theta = (1)/(4) [t - (1)/(2) s e n 2 t]_0^(pi) = (1)/(4) [pi - (1)/(2) s e n 2 pi - 0 + (1)/(2) s e n 0] = (pi)/(4)

Resposta

(pi)/(4)

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