Calcule a integral.

∫ 0 π / 2 s e n 2 2 θ   d θ

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Vamos primeiro fazer a mudança de variável t = 2 θ , de modo que d t = 2   d θ . Quando θ = 0 , t = 0 e para θ = π / 2 , temos t = π . Assim,

∫ 0 π / 2 s e n 2 2 θ   d θ = 1 2 ∫ 0 π s e n 2 t   d t

Para prosseguirmos com a integral, devemos lembrar a expressão do arco duplo:

cos ⁡ 2 t = cos 2 ⁡ t - s e n 2 t = 1 - s e n 2 t - s e n 2 t = 1 - 2   s e n 2 t

Assim,

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Passo 2

Usando a relação do arco dobro:

∫ 0 π / 2 s e n 2 2 θ   d θ = 1 2 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 t 2   d t = 1 4 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 t   d t

Passo 3

Calculando a integral:

∫ 0 π / 2 s e n 2 2 θ   d θ = 1 4   t - 1 2 s e n   2 t 0 π = 1 4 π - 1 2 s e n   2 π - 0 + 1 2 s e n   0 = π 4

Resposta

π 4

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