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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 83

underset(x -> oo)(lim) ( 1 + (b)/(x) )^(k x)

Passo 1

Vemos que se trata de uma variação do limite fundamental conhecido:

underset(x -> oo)(lim) ( 1 + (1)/(x) )^x

Portanto, devemos manipular algebricamente, de forma que possamos utilizar este limite fundamental.

Passo 2

Utilizaremos a seguinte mudança de variável:

(x)/(b) = y

Logo, teremos:

underset(x -> oo)(lim) ( 1 + (b)/(x) )^(k x) = underset(y -> oo)(lim) ( 1 + (1)/(y) )^(k b y) = underset(y -> oo)(lim) ( ( 1 + (1)/(y) )^y )^(k b)

Passo 3

Vemos, então, que conseguimos manipular o limite e fizemos aparecer o limite fundamental conhecido. Logo, sabendo que:

underset(y -> oo)(lim) ( 1 + (1)/(y) )^y = e

Podemos afirmar que:

underset(y -> oo)(lim) ( ( 1 + (1)/(y) )^y )^(k b) = e^(k b)

Resposta

underset(x -> oo)(lim) ( 1 + (b)/(x) )^(k x) = e^(k b)

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