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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 48

Calcule a integral int_0^1 x sqrt(2 - sqrt(1 - x^2)) d x .

Passo 1

Façamos uma substituição simples do tipo u.du, seguindo:

u^2 = 1 - x^2

2 u d u = - 2 x d x

x = 0 -> u = 1

x = 1 -> u = 0

Voltando a integral:

int_1^0 sqrt(2 - u) (- u) d u

Agora é só resolver a integral! Vamos lá!

Passo 2

Será necessária uma nova substituição para resolvermos essa integral, logo:

v = sqrt(2 - u)

v^2 = 2 - u

2 v d v = - d u

u = 1 -> v = 1

u = 0 -> v = sqrt(2)

Mais uma vez pegamos nossas novas variáveis e substituímos na integral!

int_1^(sqrt(2)) v (2 - v^2) 2 v d v

int_1^(sqrt(2)) (4 v^2 - 2 v^4) d v

Resolvendo a integral...

[(4)/(3) v^3 - (2)/(5) v^5] (sqrt(2))/(1)

((8)/(3) sqrt(2) - (8)/(5) sqrt(2)) - ((4)/(3) - (2)/(5))

(16)/(15) sqrt(2) - (14)/(15)

Resposta

(16)/(15) sqrt(2) - (14)/(15)

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