Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.5 - Ex. 14
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:
Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função é definida.
Interseções com os Eixos:
- Eixo : Onde
- Eixo : Onde ou seja,
Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Assíntotas:
- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.
- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme
Derivadas e Comportamento da Função:
- Primeira Derivada Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Segunda Derivada Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.
Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de Inflexão: Onde e muda de sinal.
Bora lá!! 😉
Passo 2
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.
Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.
O domínio da função é onde o denominador não é zero.
Todavia, como .
Assim, o domínio são todos os números reais!!
Passo 3
Vamos fazer para verificar as interseções em :
Logo, a única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem .
Passo 4
Para verificar a paridade, calculamos :
Então a função é par!
Como ela é par, ela apresenta simetria com relação ao eixo .
Passo 5
Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito positivo e negativo:
Assim, tanto para como para , a reta é assíntota horizontal da função.
As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se anula. Assim, podemos concluir que não há assíntotas verticais!
Passo 6
Para os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar a função:
O sinal de será:
Assim, o ponto é ponto de mínimo local.
Passo 7
No estudo da concavidade, precisamos de :
Assim,
Como , o termos que vai mandar no sinal de é :
Os pontos e são pontos de inflexão em que a concavidade da curva muda.
Dessa forma, com base nessas informações, temos o seguinte esboço:
Entendeu direitinho?? Responde aee!!! 😉
Resposta
O esboço da curva:
