Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.14 - Ex. 12
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.
Passo 1
A primeira coisa que podemos tentar é substituir para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!
Fazendo as contas:
Opa, chegamos numa indeterminação do tipo . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital
Passo 2
O limite que ele nos deu foi o seguinte:
Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,
Assim,
Se fizermos :
Logo,
Opa, caímos numa indeterminação novamente. Então vamos aplicar a regra de L’Hospital de novo!
Passo 3
Derivando, novamente:
Fazendo :
Indeterminação de novo!! Então vamos olhar com mais calma para nossa expressão:
Passo 4
Sempre que derivarmos embaixo vai dar e quando fizermos o denominador vai dar . Então o jeito vai ser olhar para o numerador. Repare que podemos derivar diversas vezes até aquele . Incialmente, tínhamos o seguinte:
Derivando:
Novamente:
Então depois de derivarmos vezes:
Fazendo :
Portanto,