Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x c o t g x

Passo 1

Inicialmente, vamos reescrever nosso limite.

L = lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x c o t g x

Como c o t g x = cos ⁡ x s e n x :

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x cos ⁡ x s e n x

Agora vamos substituir x = 0 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = 1 - cos ⁡ 0 × cos ⁡ 0 s e n 0

Fazendo as contas:

L = 0 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x s e n x

Derivando,

L = lim x → 0 ⁡ - s e n x - 2 cos ⁡ x - s e n x cos ⁡ x

Arrumando as coisas:

L = lim x → 0 ⁡ - s e n x + 2 cos ⁡ x s e n x cos ⁡ x

Pra finalizar, basta fazermos x = 0 .

L = - s e n 0 + 2 cos ⁡ 0 s e n 0 cos ⁡ 0

Substituindo os valores:

L = - 0 + 2 × 1 × 0 1 = 0 1

Portanto,

L = 0

Resposta

L = 0

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