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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.6 - Ex. 5

Derive a função f (x) = root(5)(ln x)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que derivemos a seguinte função:

f (x) = root(5)(ln x) :.

f (x) = (ln x)^(1 // 5)

Para isso, teremos que aplicar a regra da cadeia!!

Essa regrinha diz que a gente pode derivar uma função y da seguinte forma:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Ou seja, podemos dividir uma função em duas e aplicar essa regrinha de derivação!!

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Assim, fazendo u = ln x e aplicando a regra da cadeia, temos:

f^' (x) = (d)/(d u) (u^((1)/(5))) * (d)/(d x) (ln x)

Aplicando a regra da potência e sabendo que a derivada do logaritmo natural é dada por:

(ln v)^' = (1)/(v)

Temos:

f^' (x) = ((1)/(5) u^((1)/(5) - 1)) * ((1)/(x)) :.

f^' (x) = ((1)/(5) u^((1)/(4))) * ((1)/(x))

Substituindo u , temos:

f^' (x) = (1)/(5 x) (ln x)^((1)/(4))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f^' (x) = (1)/(5 x) (ln x)^((1)/(4))

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