Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 26
Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.
Passo 1
Oiiie, vamos
Para encontrar o limite
Onde podemos primeiro tentar observar o comportamento da função quando se aproxima do infinito.
Note que quando se aproxima do infinito, também se aproxima do infinito.
Isso sugere que estamos procurando o limite de uma função exponencial dividida por uma função polinomial, ambas crescendo sem limite.
Quando temos esse tipo de situação, podemos usar a regra de l'Hôpital.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Derivada de
Derivada de
Agora, podemos aplicar a regra de l'Hôpital ao limite original:
Passo 3
Como à medida que se aproxima do infinito, também se aproxima do infinito.
Assim, podemos aplicar a regra de l'Hôpital novamente:
Agora, substituindo \( u = x^2 + 3x \) e considerando \( x \) indo para o infinito, obtemos:
Este é um limite indeterminado novamente, onde ambos o numerador e o denominador vão para infinito quando tende ao infinito.
Portanto, podemos aplicar a regra de l'Hôpital mais uma vez:
Passo 4
Agora, novamente, tanto o numerador quanto o denominador vão para infinito quando tende ao infinito.
Portanto, podemos aplicar a regra de l'Hôpital mais uma vez:
Como cresce exponencialmente mais rápido do que qualquer função polinomial, o limite do numerador é infinito.
Assim, o limite original é infinito.