Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.

lim(x → 0) (senhx - x) / (x^3)

Passo 1

Oiiie, vamos

Para encontrar o limite

l i m x → 0 s e n h   x - x x 3

Onde sinh ⁡ x é a função seno hiperbólico, podemos usar a regra de L'Hôpital.

Vamos começar substituindo sinh ⁡ x pela sua definição:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

Agora, podemos reescrever a expressão do limite:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x 2 - x x 3

Simplificando, obtemos:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x - 2 x 2 2 x x 3

Passo 2

Agora, podemos tentar avaliar o limite diretamente substituindo x = 0 .

lim x → 0 ⁡ e x - e - x - 2 x 2 x 3 = 1 - 1 0 = 0 0

Se fizermos isso, oObteremosmos uma forma indeterminada 0 / 0 , o que indica que podemos aplicar a regra de L'Hôpital.

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a x :

Derivada do numerador:

d d x e x - e - x - 2 x = e x + e - x - 2

= e x - e - x - 2

Derivada do denominador:

d d x 2 x 3 = 6 x 2

Passo 3

Agora, aplicamos a regra de L'Hôpital:

lim x → 0 ⁡ e x + - e - x - 2 x 6 x 2

Substituindo x = 0 nesta expressão, obtemos

lim x → 0 ⁡ e x + e - x - 2 6 x 2 = 1 + 1 - 2 - 2 0 = 0 0

O que significa que ainda temos uma forma indeterminada.

Isso sugere que podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente.

Passo 3

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador em relação a x :

lim x → 0 ⁡ e x + e - x - 2 6 x 2

Derivada do numerador:

d d x = e x + - e - x - 2 x = e x - e - x

Derivada do denominador:

d d x 6 x 2 = 12 x

Aplicando a regra de L'Hôpital novamente, obtemos:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x 12 x

Agora, substituindo x = 0   obtemos

lim x → 0 ⁡ e x - e - x 12 x = 1 - 1 0 = 0 0

O que indica que podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente.

Passo 4

Vamos derivar uma vez mais:

Derivada do numerador:

d d x = e x - e - x = e x + e - x

Derivada do denominador:

d d x 12 x = 12

Aplicando a regra de L'Hôpital pela terceira vez:

lim x → 0 ⁡ e x + e - x 12

Agora, substituindo x = 0   obtemos

lim x → 0 ⁡ e x + e - x 12 = 1 + 1 12 = 2 12 = 1 6

Portanto, o limite

l i m x → 0 s e n h x - x x 3 = 1 6

Resposta

l i m x → 0 s e n h x - x x 3 = 1 6

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