Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 28
Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.
Passo 1
Oiiie, vamos
Para encontrar o limite
Onde é a função seno hiperbólico, podemos usar a regra de L'Hôpital.
Vamos começar substituindo pela sua definição:
Agora, podemos reescrever a expressão do limite:
Simplificando, obtemos:
Passo 2
Agora, podemos tentar avaliar o limite diretamente substituindo
Se fizermos isso, oObteremosmos uma forma indeterminada o que indica que podemos aplicar a regra de L'Hôpital.
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra de L'Hôpital:
Substituindo nesta expressão, obtemos
O que significa que ainda temos uma forma indeterminada.
Isso sugere que podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente.
Passo 3
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador em relação a
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a regra de L'Hôpital novamente, obtemos:
Agora, substituindo obtemos
O que indica que podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente.
Passo 4
Vamos derivar uma vez mais:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aplicando a regra de L'Hôpital pela terceira vez:
Agora, substituindo obtemos
Portanto, o limite