Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.

l i m x → 0 x   3 x 3 x - 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

l i m x → 0 x   3 x 3 x - 1

Para isso, a questão quer que usemos a regra de L’Hôspital quando for apropriado.

Mas que regra é essa??

A Regra de L'Hôpital é uma técnica no cálculo diferencial que é utilizada para avaliar limites indeterminados do tipo 0 / 0 ​ ou ∞ / ∞ .

Se a gente tiver indeterminação desse tipo, temos que derivar o numerador e o denominador da função e prosseguir aplicando o limite.

E aí?? Bora aplicar?? 😉 ​

Passo 2

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

l i m x → 0 x   3 x 3 x - 1 = 0 * 3 0 3 0 - 1 ∴

l i m x → 0 x   3 x 3 x - 1 = 0 * 1 1 - 1 ∴

l i m x → 0 x   3 x 3 x - 1 = 0 0

Já podemos aplicar L’Hôspital pois nosso limite tem a forma 0 0 .

Passo 3

Vimos que o limite tá na forma correta, beleza? Então vamos aplicar L’Hospital derivando o numerador e o denominador:

l i m x → 0 x   3 x ' 3 x - 1 ' = l i m x → 0 3 x + x 3 x ln ⁡ 3   3 x l n 3

Arrumando as contas:

l i m x → 0 3 x + x 3 x ln ⁡ 3   3 x l n 3 =   l i m x → 0 3 x x ln ⁡ 3   + 1   3 x l n 3 ∴

l i m x → 0 3 x + x 3 x ln ⁡ 3   3 x l n 3 = lim ⁡   x → 0 x ln ⁡ 3   + 1 3 x l n 3

Aplicando o limite, temos:

lim ⁡   x → 0 x ln ⁡ 3   + 1 3 x l n 3 = 0 * ln ⁡ 3   + 1 3 0 * ln ⁡ 3 ∴

lim ⁡   x → 0 x ln ⁡ 3   + 1 3 x l n 3 = 1 ln ⁡ 3  

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

l i m x → 0 x   3 x 3 x - 1 = 1 ln ⁡ 3  

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