Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 48
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:
E ele pede para usarmos a regra de L’hospital se for apropriado.
Podemos usar L’hospital quando temos uma indeterminação do tipo ou do tipo .
Se isso acontecer, basta derivarmos o numerador e o denominador separadamente e verificar se a indeterminação permanece ou se já conseguimos resolver o limite.
Passo 2
Se substituirmos o valor do limite teremos:
Essa é uma indeterminação, mas não é uma indeterminação de L’hospital. Para que a gente possa resolver por L’hospital vamos manipular a nossa função. Vamos aqui apenas realizar a subtração de frações de forma a obter apenas uma fração.
Substituindo agora o valor do limite, teremos:
Opa, chegamos numa indeterminação o tipo . Então, vamos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Aplicando regra de L’Hospital, vamos derivar em cima e embaixo separadamente. Perceba que no denominador, eu aplico uma regra do produto.
Arrumando essa confusão:
Multiplicando por em cima e embaixo, temos o seguinte.
Novamente caímos numa indeterminação . Olha só:
Então vamos usar a regra de L’Hospital de novo.
Passo 4
Derivando em cima e embaixo, temos o seguinte:
Logo,
Pra finalizar, basta fazermos :