Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 19
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Precisamos calcular o seguinte limite:
Repare que se fizermos logo de cara vamos cair numa indeterminação, olha só:
Viu que deu ruim? Mas perceba que essa uma daquela indeterminações que falamos no passo 1. Então vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Vem comigo!
Passo 3
Nosso limite é:
E vimos que quando:
Podemos fazer:
Então é isso que faremos, vamos derivar o numerador e o denominador e então recalcular o limite.
Para derivarmos funções do tipo , temos que usar a seguinte regra:
Isto é,
E agora sim, derivamos:
Logo,
Agora vamos voltar para o nosso limite. Derivando,
E olha como isso foi bom, pois agora acabamos com a indeterminação.
Passo 4
Pra finalizar, basta fazermos . Assim,
Fazendo as contas:
Portanto,
E prontinho. Limite calculado.